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14 de agosto, 2019

El orden de las operaciones sí altera el resultado: cómo resolver problemas de mates virales


Una operación aritmética ha puesto patas arriba el remanso de paz que suelen ser las matemáticas en Twitter, pero es también una oportunidad estupenda para hablar del orden de las operaciones. En apariencia es sencilla: 8 / 2 (2 + 2). Sin embargo, el tuit original suma más de 20.000 respuestas en poco más de una semana.

Podríamos terminar pronto: el orden para llevar a cabo las operaciones es paréntesis, potencias, multiplicaciones y divisiones, y sumas y restas. Las conjunciones copulativas en la anterior frase están bien puestas. “multiplicaciones y divisiones” y “sumas y restas” tienen la misma prioridad, así que si las encuentras juntas tendrás que hacerlas de izquierda a derecha, igual que como se lee.

Ya está, ya sabes resolver una parte importante de los problemas virales en Twitter y Facebook, los que intentan confundir a quienes no recuerdan que este es el orden que hay que seguir en estos casos.

Vamos con un ejemplo que aún no ha viralizado en redes:

3 – 2 + 1 da resultado igual a 2, porque se hace de izquierda a derecha, y a nadie se le va a ocurrir sumar el 2 con el 1 antes de hacer la diferencia, espero, porque estaría mal.

En el problema que ha viralizado ocurre lo mismo:

8 / 2 (2 + 2)

8 / 2 (4)

8 / 2 · 4

4 · 4

16

Y entonces, ¿cómo se ha podido generar tanta polémica? Pues porque hay una pequeña excepción (y no tiene que ver con las reglas mnemotécnicas PEMDAS o BODMAS que explicaré más abajo), y es que entre el 2 y el paréntesis no hay ningún signo. Eso se interpreta como una multiplicación, por eso al quitar el paréntesis he puesto el puntito, pero en escritura de expresiones algebraicas (cuando mezclamos números y letras) se podría haber entendido de otra forma, concretamente de esta:

O sea, que podríamos interpretar si esto no fuesen números sino que hubiera letras que lo que va a la derecha de la barra del divisor es todo denominador, esto es:

Que es la razón por la que alguna calculadora científica proporcionaba ese resultado al teclear la expresión. Porque opera la operación aritmética como si fuese una expresión algebraica. Como digo, la única sutileza de este tema, motivada por la ambigüedad de no poner ningún signo de puntuación entre el 2 y el paréntesis y que generalmente solo interpretamos así en contextos algebraicos, no en aritmética.

¿Por qué importa el orden de las operaciones?

PEMDAS son las siglas en inglés de paréntesis, exponentes, multiplicación/división, adición/sustracción, que es exactamente lo que ya te he contado. Aquí la multiplicación no tiene ninguna prioridad sobre la división, como tampoco la tiene la suma o adición sobre la resta o sustracción. A los niños que les enseñan esta regla mnemotécnica les suelen dar la frase “Please Excuse My Dear Aunt Sally”.

BODMAS es la regla mnemotécnica que utilizan la mayor parte de niños ingleses, indios, bangladesíes y australianos. Son las siglas de corchetes (brackets), exponentes (order), división/multiplicación, adición/sustracción. Como eso de llamar order a los exponentes les suena raro hasta a ellos, a veces lees BIDMAS en la que la I viene de índices.

Las reglas mnemotécnicas se utilizan para ayudar a los alumnos a recordar, pero está claro que también se utilizan para confundir, ya que numerosos artículos publicados desde que saltó esta culebra de verano llegaban a creer que el orden en el que se presentaban la M y la D en la regla anglosajona de turno influía en si las multiplicaciones y las divisiones se hacían allí de manera distinta, y no es así.

La razón para que el orden en que realizamos las operaciones sea prácticamente el mismo en todo el mundo es el significado de las operaciones aritméticas. Esto es, la multiplicación significa “suma reiterada” y, por tanto, 5×3 vale 3+3+3+3+3 (o 5+5+5). Esto implica que cuando ves 3+2×5, primero debas computar ese “dos por cinco”, porque ese es su significado.

Lo mismo le ocurre a la potencia, que tiene su origen en la multiplicación reiterada. Así, 2×3^4 se debe entender como 2 por 3 multiplicado por sí mismo cuatro veces. Si quisieras que se interpretase como seis elevado a 4 (o multiplicado por sí mismo cuatro veces) habría que poner un paréntesis, (2×3)^4.

Es por todo esto que lo primero que hay que atender es a los paréntesis, porque significan que el que ha escrito la operación quería alterar el orden “natural” de las operaciones. Luego a los exponentes, luego a las multiplicaciones (y divisiones, que no son más que sus operaciones inversas) y la las sumas (y restas, que son sus operaciones inversas).

Cuando digo en el párrafo anterior “operaciones inversas” me refiero a que la resta es una “suma disfrazada” y que preguntarme 8-5 es equivalente a preguntarme por el número que sumado a 5 da 8, esto es, 5 + x = 8. Ocurre igual con la división 12:4, que es equivalente a “¿qué número multiplicado por 4 da 12?” Por eso multiplicación y división, suma y resta, tienen mismo orden de prioridad, y en caso de aparecer varias seguidas, se resuelven de izquierda a derecha.

Para los lectores que hayan quedado con ganas de más, tienen esta entrada en la que se altera el orden de los factores ¡y se hace primero la división! para conseguir poder hacer las operaciones de cabeza con factores más pequeños. Vienen algunos otros trucos y enlaces para practicar el orden de las operaciones.

Fuente: Verne

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